Question

18．已知直线l：y=x+m（m∈R），双曲线E：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）．
（1）若直线l与双曲线E的其中一条渐近线平行，求双曲线E的离心率；
（2）若直线l过双曲线的右焦点F₂，与双曲线交于P、Q两点，且$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{FQ}$，求双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的渐近线与直线平行求出b，然后求出a，c即可求解双曲线的离心率．
（2）设出直线方程，联立直线与双曲线方程，通过向量相等，然后求解b，即可求解双曲线的方程．

解答 解：（1）因为双曲线的渐近线$y=±\frac{b}{a}x$$⇒\frac{b}{a}=1$，又因为$a=\sqrt{2}$，所以$b=\sqrt{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2+2}}}{2}=\sqrt{2}$．
（2）F₂（c，0），直线l：y=x-c，$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$，
（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0，所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{{-2c{b^2}}}{{{b^2}-2}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{{{b^2}{c^2}-2{b^2}}}{{{b^2}-2}}}\end{array}}\right.$，
因为$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{FQ}$，所以${y_1}=\frac{1}{5}{y_2}$，整理得：$\frac{{{c^2}{b^4}}}{{9（{b^2}-2）}}=\frac{{{b^2}{c^2}-2{b^2}}}{5}$，
因为b²＞0，所以c²-2=b²，$\frac{{{b^2}+2}}{{9（{b^2}-2）}}=\frac{1}{5}$，所以b²=7，
所以双曲线C：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{7}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．