Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n）．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）直接由数列的前n项和分类求解数列的通项公式．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂项可求和．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（n²+3n）-$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]=n+1．
当n=1时，a₁=s₁=2，显然上式成立，
∴a_n=n+1，
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$

点评 本题考数列递推式，考查了由数列的前n项和求通项公式，裂项求数列的和的应用．