Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x}{x-1}+sinπ$x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 通过变形可知f（x）=1+$\frac{1}{x-1}$+sinπx，进而可知当x∈[0，1）时，函数g（x）=$\frac{1}{x-1}$+sinπx满足g（2-x）=-g（x），由此可知在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{x-1}+sinπ$x=1+$\frac{1}{x-1}$+sinπx，
记g（x）=$\frac{1}{x-1}$+sinπx，则当x∈[0，1）时，
g（2-x）=$\frac{1}{2-x-1}$+sinπ（2-x）=$\frac{1}{1-x}$-sinπx，
即在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，
∴m+n=2，
故选：D．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．