Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1以及椭圆内一点P（2，1），则以P为中点的弦所在直线斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 根据题意，利用中点坐标公式，斜率计算公式，通过作差，即可求出直线的斜率．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示；
设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k；
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$②；
∴①-②，得
$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0；
∵由中点坐标公式：x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0；
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应根据题意，应用椭圆的简单性质，灵活运用作差法求直线的斜率，属于中档题．