题目内容
14．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ=$\frac{3π}{4}$（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程
（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
分析 （I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；
先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程
（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将θ=$\frac{3π}{4}$代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长．
解答 解：（I）∵圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，
∴圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即ρ+2cosθ-2sinθ=0，
即${ρ}^{\;}=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），
消参得：x-y+1=0，
∴直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0，
即sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$；
（Ⅱ）当θ=$\frac{3π}{4}$时，|OP|=$2\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$，
故点P的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
|OQ|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故点Q的极坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
故线段PQ的长为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查的知识点是参数方程和极坐标，熟练掌握参数方程与普通方程及极坐标方程之间的转化方式，是解答的关键．
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