Question

在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：℃）有关，若日平均气温不超过15℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15℃，超过15℃但不超过20℃，超过20℃这三种情况发生的概率分别为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂为方程5x²-3x+a=0的两根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和（单位：瓶），求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用P₁，P₂为方程5x²-3x+a=0的两根，P₁+P₂+P₃=1，P₂=P₃，即可求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（I）由已知P₁，P₂为方程5x²-3x+a=0的两根，
∴得

P1+P2+P3=1 P1+P2= 3 5 P2=P3

，
解得：P1=

1

5

，P2=

2

5

，P3=

2

5

．
（II）ξ的可能取值为200，250，300，350，400
P(ξ=200)=

1

5

×

1

5

，
P(ξ=250)=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P(ξ=300)=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P(ξ=350)=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P(ξ=400)=

2

5

×

2

5

=

4

25

随机变量ξ的分布列为

ξ	200	250	300	350	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

∴所求的数学期望为：Eξ=200×

1

25

+250×

4

25

+300×

8

25

+350×

8

25

+400×

4

25

=320(瓶)

点评：本题考查概率的性质，考查概率的计算，考查分布列及数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．