Question

9．已知偶函数y=f（x）是定义域为R，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1\\{2^{2-x}}+1，x＞1\end{array}\right.$．函数g（x）=x²-2ax+a²-1（a∈R）．若函数y=g（f（x））有且仅有6个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，2）
• C． （2，3]
• D． （2，3）

Answer 1

分析 由g（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a-1）（x-a+1）可知g[f（x）]=0可化为f（x）=a+1或f（x）=a-1；作函数f（x）的图象，从而可得a的不等式组；化简求解即可．

解答 解：∵g（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a-1）（x-a+1），
∴g[f（x）]=0可化为f（x）=a+1或f（x）=a-1；
作函数f（x）的图象如下，
，
结合图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a-1≤1}\\{1＜a+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜a-1＜3}\\{a+1=3}\end{array}\right.$；
即1＜a＜2，
故选：B．

点评 本题考查了复合函数的应用及数形结合的思想应用．考查分析问题解决问题的能力．