Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

（1）求证：平面

（2）若求与所成角的余弦值；

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。 （注：当所成角为90°时，两直线垂直。）求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 异面直线所成角的步骤一般是①平移其中一条或两条使其相交。②连接端点，使角在一个三角形中。③计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。④若余弦值为负，则取其相反数。

试题解析：证明：∵ABCD是菱形∴

∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD

PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC

∴BD平面PAC

（2）延长DA到E，使AE=DA，连接BE，PE，则AEBC

∴四边形AEBC为平行四边形

∴BE//AC，

∴BE与BP所成的角就是两异面直线所成的角即

在中， PA=2,AE=2,PAAE,∴PE=,BE=AC=,PB=

∴

考点：直线与平面垂直的判断及异面直线所成的角