如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.点A.B分别为椭圆C的上顶点.右顶点.过坐标原点胡直线交椭圆C于D.E两点.交AB于M点.其中点E在第一象限.设直线DE的斜率为k．(1)当k=$\frac{1}{2}$时.证明直线DE平分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点A，B分别为椭圆C的上顶点、右顶点，过坐标原点胡直线交椭圆C于D，E两点，交AB于M点，其中点E在第一象限，设直线DE的斜率为k．
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，证明直线DE平分线段AB．
（2）已知点A（0，1），则：
①若S_△ADM=6S_△AEM，求k；
②求四边形ADBE面积的最大值．

分析（1）通过离心率的值及a、b、c三者之间的关系化简可得a=2b，进而利用通过设A（0，b）、B（2b，0），利用过原点及AB中点P的直线斜率为$\frac{1}{2}$可得结论；
（2）①通过点A坐标及离心率可知椭圆的方程，进而可得A、B的坐标，通过设直线AB、DE的方程及M、D、E的标准，利用S_△ADM=6S_△AEM及点M在AB上得出一个关于k的方程，进而计算可得结论；②通过四边形ADBE面积为S=S_△OAD+S_△OAE+S_△ODB+S_△OEB化简，进而根据基本不等式的性质求得最大值．

解答解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
设A（0，b）、B（2b，0），则AB中点P（b，$\frac{1}{2}$b），
∵k_OP=$\frac{\frac{1}{2}b-0}{b-0}$=$\frac{1}{2}$，且直线DE的斜率k=$\frac{1}{2}$，
∴点P与点M重合，即直线DE平分线段AB；
（2）由点A（0，1）可知b=1，
由e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，可知a²=4，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，于是B（2，0），
直线AB、DE的方程分别为x+2y=2、y=kx（k＞0）．
①如图，设M（x₀，kx₀）、D（x₁，kx₁）、E（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁、x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，①
∵S_△ADM=6S_△AEM，
∴x₀-x₁=6（x₂-x₀），即x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
又∵由M在AB上，
∴x₀+2kx₀=2，即x₀=$\frac{2}{1+2k}$，
所以$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{2}{1+2k}$，化简得24k²-25k+6=0，
解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$；
②由题设可知|AO|=1、|BO|=2，D（x₁，kx₁）、E（x₂，kx₂），
不妨设y₁=kx₁，y₂=kx₂，
由①可知得x₂＞0，根据E与D关于原点对称可知y₂=-y₁＞0，
故四边形ADBE面积S=S_△OAD+S_△OAE+S_△ODB+S_△OEB
=$\frac{1}{2}$|OA|•（-x₁）+$\frac{1}{2}$|OA|•x₂+$\frac{1}{2}$|OB|•y₂+$\frac{1}{2}$|OB|•（-y₁）
=$\frac{1}{2}$|OA|（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$|OB|（y₂-y₁）
=x₂+2y₂
=$\sqrt{（{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{2}{y}_{2}}$
≤$\sqrt{2（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）}$
=2$\sqrt{2}$，
当且仅当x₂=2y₂时，上式取等号，
所以四边形ADBE面积S的最大值为2$\sqrt{2}$．