题目内容

12.已知$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(-3,2).
(1)求$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$的坐标;
(2)当k为何值时,k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共线?
(3)设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,求2θ的值.

分析 (1)根据向量坐标运算公式计算;
(2)求出k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标,根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
(3)利用数量积公式计算cosθ,使用二倍角公式得出cos2θ.

解答 解:(1)$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$=(1,2)-(-6,4)=(7,-2).
(2)k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=(k-3,2k+2),$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=(7,-2).
∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$共线,
∴-2(k-3)-7(2k+2)=0,解得k=-$\frac{1}{2}$.
(3)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-3+4=1,|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$,|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{65}}{65}$.
∴cos2θ=2cos2θ-1=-$\frac{63}{65}$,
∴2θ=arccos(-$\frac{63}{65}$).

点评 本题考查了平面向量的坐标运算,数量积运算,向量平行与坐标的关系,属于基础题.

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