Question

15．圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R转化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=$\sqrt{5}$比较，判断l与圆的位置关系；
（2）弦长最小时，l⊥AC，直线l被圆C截得的弦长最小，由k_AC=-$\frac{1}{2}$，得直线l的斜率，从而由点斜式可求得m的值．

解答 （1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得x=3，y=1，
故l恒过定点A（3，1）；
又圆心C（1，2），
∴|AC|=$\sqrt{5}$＜5（半径）
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．
（2）解：∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，
∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，
∴直线l的斜率为k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=$\frac{1}{\frac{2-1}{1-3}}$=2
∵A（3，1）、圆心C（1，2），圆的半径为r=5
∴弦心距AC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴最短弦长=2×$\sqrt{{r}^{2}-A{C}^{2}}$=2×$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$
∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
整理得：y=-$\frac{2m+1}{m+1}$x+$\frac{7m+4}{m+1}$
∴-$\frac{2m+1}{m+1}$=2
解得m=-$\frac{3}{4}$
∴直线l被圆C截得的线段的最短长度为4$\sqrt{5}$，此时m的值为-$\frac{3}{4}$

点评 本题考查直线与圆的位置关系及恒过定点的直线，难点在于（2）中“弦长最小时，l⊥AC”的理解与应用，属于中档题．