已知O为坐标原点.双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F.以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A.B.O三点.且($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$)$•\overrightarrow{OF}$=0.若关于x的方程ax2+bx-c=0的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知O为坐标原点，双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）$•\overrightarrow{OF}$=0，若关于x的方程ax²+bx-c=0的两个实数根分别为x₁和x₂，则以|x₁|，|x₂|，2为边长的三角形的形状是（　　）

A．

钝角三角形

B．

直角三角形

C．

锐角三角形

D．

等腰直角三角形

分析运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=$\sqrt{2}$a，方程ax²+bx-c=0即为x²+x-$\sqrt{2}$=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．

解答解：由（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）$•\overrightarrow{OF}$=0，可得
（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）•（$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AO}$）=0，
即有$\overrightarrow{AF}$²-$\overrightarrow{AO}$²=0，
即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，
可得∠AOF=45°，
由渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=1，c=$\sqrt{2}$a，
则关于x的方程ax²+bx-c=0即为x²+x-$\sqrt{2}$=0，
即有x₁x₂=-$\sqrt{2}$，x₁+x₂=-1，
即有x₁²+x₂²=1+2$\sqrt{2}$＜4，
可得以|x₁|，|x₂|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．
故选：A．