Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$e^-ax，若对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
求导函数可得f′（x）=$\frac{{ax}^{2}+2-a}{{（1-x）}^{2}}$e^-ax，
当0＜a≤2时，f′（x）＞0，函数在（-∞，1）和（1，+∞）上为增函数，
对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1；
当a＞2时，函数在（-∞，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），（ $\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）和（1，+∞）上为增函数，在（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上为减函数，
取x₀=$\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{a-2}{a}}$∈（0，1），则f（x₀）＜f（0）=1；
当a≤0时，对任意x∈（0，1）恒有 $\frac{1+x}{1-x}$＞1且e^-ax≥1，
∴f（x）≥$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
综上，当且仅当a∈（-∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，综合性强，属于中档题．