Question

（理）过双曲线xy=k（k＞0）上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

• A、k
• B、

  2

  k
• C、2k
• D、不确定

Answer 1

分析：设曲线xy=k（a≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），对xy=k变形可y=

k

x

，结合点P的坐标，可得切线的方程，联立曲线的方程，进而可得直线在x、y轴上的截距，由三角形面积公式，计算可得答案．

解答：解：设曲线xy=k（a≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），
xy=k变形可y=

k

x

，
对y=

k

x

求导数，得y′=

k

x2

，
于是，切线的方程是y-y0=-

k

x 2 0

(x-x0)．
注意到x₀y₀=k，容易得出切线在x轴与y轴的截距分别是x_截距=x0+-

x 2 0 y0

a2

=2x0，
y_截距=y0+

k

x0

=

x0y0+k

x0

=

2k

x0

，
于是，所求三角形的面积为2k；
故选C．

点评：本题涉及求曲线的切线方程，解题时，一般步骤是先设变量或坐标，再求或联立；最后进行计算．