Question

已知函数．

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）;

（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（3）对任意，均存在，使得，等价于，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）由已知， ，所以斜率，

又切点，所以切线方程为），即

故曲线在处切线的切线方程为。

（2）

①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．

②当时，由，得．

在区间上，，在区间上，，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）由已知，转化为． ，所以

由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．

（或者举出反例：存在，故不符合题意．）

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，

所以， 解得．

考点：1．利用导数研究曲线上某点切线方程；2．利用导数研究函数的单调性；3．利用导数求闭区间上函数的最值．