Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）；
数列{b_n}中，b₁=3且对n∈N^*，点（b_n，b_n+1）都在函数y=x+2的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞100n？若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），a_n=2S_n-1+1（n∈N^*）得a_n+1-a_n=2a_n，}a_n+1=3a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3，（n≥2）$
由点（b_n，b_n+1）都在函数y=x+2的图象上．得数列 {b_n}是公差为2的等差数列
（Ⅱ）设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，a_n•b_n=（2n+1）3^n-1
利用错位相减法求得T_n，由题意n•3ⁿ＞100，得n≥5

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₂=2s₁+1=3…（1分）
且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）；          ①
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1（n∈N^*）；   ②…（2分）
①-②得a_n+1-a_n=2a_n，}a_n+1=3a_n
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3，（n≥2）$
又当n=1时，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$也符合$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$
所以数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，${a}_{n}={3}^{n-1}$…（4分）
∵点（b_n，b_n+1）都在函数y=x+2的图象上∴b_n+1=b_n+2，b_n+1-b_n=2．
所以数列 {b_n}是公差为2的等差数列，
b_n=3+（n-1）×2=2n+1…（6分）
（Ⅱ）设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，∵a_n•b_n=（2n+1）3^n-1…（7分）
∴T_n=3•3⁰+5•3¹+7•3²+…+（2n-1）•3^n-2+（2n+1）•3^n-1…①
3T_n=3•3¹+5•3²+7•3³+…+（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ…②…（8分）
①-②得：-2T_n=3+2（3¹+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=-2n•3ⁿ
∴${T}_{n}=n•{3}^{n}$…（10分）
由题意n•3ⁿ＞100n，即3ⁿ＞100，∴n≥5
使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞100n？若存在，n的最小值为5，…（12分）

点评 本题考查了数列的递推式，数列的通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．