Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*），从n=2依次代入整数值，不难给出a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a₂，a₃，a₄的值与n的关系，我们不难归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．

解答： 解：（1）因为a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*），所以，
当n=2时，2（a₁+a₂）=3a₂，得a₂=2；-------------------------------（2分）
当n=3时，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃，得a₃=3；-------------------------------（4分）
当n=4时，2（a₁+a₂+a₃+a₄）=5a₄，得a₄=4．-------------------------------（6分）
（2）猜想an=n(n∈N*)．-------------------------------（7分）
由2S_n=（n+1）a_n①，可得2S_n-1=na_n-1（n≥2）②，-------------------------（8分）
①-②，得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，-------------------------------（9分）
所以（n-1）a_n=na_n-1，即

an

n

=

an-1

n-1

(n≥2)，-------------------------------（10分）
也就是

an

n

=

an-1

n-1

=

an-2

n-2

=…=

a1

1

=1，故an=n(n∈N*)．-------------------（12分）

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．