Question

4．在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F₁、F₂是其左、右焦点，A是其上顶点，且∠F₁AF₂=60°．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）经过椭圆C的右焦点F₂作倾斜角为45°的直线l，交椭圆C于M，N两点，且满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=-2，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）推导出△AF₁F₂是等边三角形，从而a=2c，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，直线l：y=x-c，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，得：7x²-8cx-8c²=0，由此利用韦达定理、向量数量积，结合已知条件能求出椭圆C的方程．

解答 解：（1）在△AF₁F₂中，由∠F₁AF₂=60°，|AF₁|=|AF₂|=a，
得△AF₁F₂是等边三角形，∴a=2c，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（2）∵a=2c，∴b=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}c$，
∴设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
又由右焦点F₂（c，0），k=tan45°=1，得直线l：y=x-c，
联立，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，得：7x²-8cx-8c²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}c$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}{c}^{2}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且F（-c，0），
则$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=（-c-x₁，-y₁）•（-c-x₂，-y₂）
=（c+x₁）（c+x₂）+y₁y₂=（c+x₁）（c+x₂）+（x₁-c）（x₂-c）=2${x}_{1}{x}_{2}+2{c}^{2}$，
=-$\frac{16}{7}{c}^{2}+2{c}^{2}=-\frac{2}{7}{c}^{2}$，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{N{F}_{1}}$=-2，∴-$\frac{2}{7}{c}^{2}$=-2，解得c=$\sqrt{7}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{28}+\frac{{y}^{2}}{21}$=1．

点评 本题考查椭圆离心率、椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量数量积、椭圆性质的合理运用．