Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）设M是△AB内一点，S△MBC=

1

2

，设f（M）=（m，n），其中m，n分别是△MCA，△MAB的面积，求

1

m

+

4

n

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）通过向量的数量积，求出三角形两边的乘积，最后代入三角形面积公式求出结果即可．
（2）利用向量的数量积的运算求得b、c的值，利用三角形的面积公式求得m+n的值，进而把

1

m

+

4

n

转化成2（

1

m

+

4

n

）×（m+n），利用基本不等式求得

1

m

+

4

n

的最小值．

解答： 解：（1）由题意可知：

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

可得|

AB

|•|

AC

|=4，
因此S△ABC=

1

2

•|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1，
文科：（2）由于S_△ABC=S_△MBC+S_△MCA+S_△MAB，且S△MBC=

1

2

，
则S△MCA+S△MAB=

1

2

，即m+n=

1

2

，
故

1

m

+

4

n

=2(

1

m

+

4

n

)•

1

2

=2(

1

m

+

4

n

)•(m+n)=2(1+

n

m

+

4m

n

+4)≥2•(5+4)=18，即(

1

m

+

4

n

)min=18
当且仅当

n

m

=

4m

n

，即n=

1

3

，m=

1

6

时取等号．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+

b

x

的形式．