Question

10．△ABC的三个内角为A，B，C，若$\frac{{\sqrt{3}sinA+cosA}}{{\sqrt{3}cosA-sinA}}=tan\frac{5π}{12}$，则sin（B+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 依题意，可求得tan（A+$\frac{π}{6}$）=tan$\frac{5π}{12}$，从而可求得A=$\frac{π}{4}$，继而可得答案．

解答 解：∵$\frac{\sqrt{3}sinA+cosA}{\sqrt{3}cosA-sinA}$=$\frac{2sin（A+\frac{π}{6}）}{2cos（A+\frac{π}{6}）}$=tan（A+$\frac{π}{6}$），
又$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{{\sqrt{3}sinA+cosA}}{{\sqrt{3}cosA-sinA}}=tan\frac{5π}{12}$，A为△ABC的一个内角，
∴A=$\frac{π}{4}$，
则sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查辅助角公式的应用，求得∠A=$\frac{π}{4}$是关键，属于中档题．