Question

已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），若对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）+log 

1

2

x]=3，则f（8）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意知f（x）+log 

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x=a，（a为常数）；从而解得a=2；故f（x）=2-log 

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2

x，从而求f（8）．

解答： 解：由对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）+log 

1

2

x]=3知，
f（x）+log 

1

2

x=a，（a为常数）；
故f（x）=a-log 

1

2

x；
则由f[f（x）+log 

1

2

x]=3知，
f（a）=a-log 

1

2

a=3；
故a=2；
故f（x）=2-log 

1

2

x；
故f（8）=2+3=5；
故答案为：5．

点评：本题考查了函数的综合应用，属于中档题．