Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=$\sqrt{2}$c，且A=C+$\frac{π}{2}$
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）当b=1时，求边c的值．

Answer 1

分析 （I）由A=C+$\frac{π}{2}$，可得sinA=sin$（C+\frac{π}{2}）$=cosC，由a=$\sqrt{2}$c，利用正弦定理可得sinA=$\sqrt{2}$sinC，化简即可得出．
（II）由（I）可得：cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．利用A=C+$\frac{π}{2}$．可得sinA=cosC，cosA．可得sinB=sin（A+C），再利用正弦定理可得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$．

解答 解：（I）∵A=C+$\frac{π}{2}$，∴sinA=sin$（C+\frac{π}{2}）$=cosC，
由a=$\sqrt{2}$c，∴sinA=$\sqrt{2}$sinC，
∴$\sqrt{2}$sinC=cosC，
∴tanC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴C为锐角．
∴cosC=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（II）由（I）可得：cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵A=C+$\frac{π}{2}$．
∴sinA=cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．