若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0.使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.则称函数f(x)为“1的饱和函数．给出下列五个函数:①f(x)=2x,②f(x)=$\frac{1}{x}$,③$f(x)=lg$,④$f(x)=\frac{2x-1}{e^x}$．其中是“1的饱和函数的所有函数的序号为( )A．①②④B．②③④C．①②③D．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列五个函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=$\frac{1}{x}$；③$f（x）=lg（{x^2}-\frac{1}{2}）$；④$f（x）=\frac{2x-1}{e^x}$．
其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（　　）

A．

①②④

B．

②③④

C．

①②③

D．

①③④

分析假设函数为饱和函数，列出方程，判断方程是否有解得出结论．

解答解：对于①，f（1）=2，f（2）=4，∴f（1+1）=f（1）+f（1），∴f（x）=2^x是饱和函数；
对于②，假设f（x）=$\frac{1}{x}$是饱和函数，则$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，整理得：x₀²+x₀+1=0，方程无解，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$不是饱和函数；
对于③，假设f（x）=lg（x²-$\frac{1}{2}$）是饱和函数，则lg[（x₀+1）²-$\frac{1}{2}$]=lg（x₀²-$\frac{1}{2}$）+lg$\frac{1}{2}$．
∴（x₀+1）²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x₀²-$\frac{1}{2}$），整理得：2x₀²+8x₀+3=0，△=40＞0，方程有解，
∴f（x）=lg（x²-$\frac{1}{2}$）是饱和函数；
对于④，假设f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}}$，则$\frac{2（{x}_{0}+1）-1}{{e}^{{x}_{0}+1}}$=$\frac{2{x}_{0}-1}{{e}^{{x}_{0}}}$+$\frac{1}{e}$，
整理得：e${\;}^{{x}_{0}}$=（2-2e）x₀+e，
做出y=e^x和y=（2-2e）x₀+e如图所示：
由图象可得y=e^x和y=（2-2e）x₀+e有一个公共点，
∴方程e${\;}^{{x}_{0}}$=（2-2e）x₀+e有解，
∴f（x）=$\frac{2x-1}{{e}^{x}}$是饱和函数．
故选D．

点评本题考查了方程解的个数判断，属于中档题．

练习册系列答案

S_n＞na₁＞na_n

S_n＜na_n＜na₁

na₁＜S_n＜na_n

na_n＜S_n＜na₁

15．已知命题p：若a＞b＞0，则a^x＞b^x恒成立；命题q：在等差数列{a_n}中，m+n=p+q是a_n+a_m=a_p+a_q的充分不必要条件（m，n，p，q∈N^*）．则下面选项中真命题是（　　）

	A．	若命题p：?x∈R，x³-x²+1＜0，则命题￢p：?x∈R，x³-x²+1＞0
	B．	“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
	C．	若x≠0，则$x+\frac{1}{x}≥2$
	D．	函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{6}$