Question

1．在直角坐标系xOy中，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的点在圆C₂：x²+（y-2）²=1外，且C₁上任意一点M，M到直线x=-$\frac{p}{2}$的距离与M到圆C₂上点的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）设P（x₀，y₀）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与抛物线C₁相交于点A、B和C、D，当P在直线y=-2上运动，且A，B，C，D的横坐标之积为32时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题设知，$\frac{p}{2}$=1，可得求曲线C₁的方程；
（2）设切线方程为y+2=k（x-x₀），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合A，B，C，D的横坐标之积为32，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴求抛物线C₁的方程为x²=4y；
（2）当点P在直线y=-2上运动时，P的坐标为（x₀，-2），
切线方程为y+2=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-2=0．
于是$\frac{|-4-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
整理得（x₀²-1）k²+8kx₀+15=0①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是方程①的两个实根，
故k₁+k₂=-$\frac{8{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，k₁k₂=$\frac{15}{{{x}_{0}}^{2}-1}$②
由k₁x-y-k₁x₀-2=0与x²=4y得x²-4k₁x+4k₁x₀+8=0③
设四点A，B，C，D的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，则是方程③的两个实根，
所以x₁x₂=4k₁x₀+8④
同理可得x₃x₄=4k₂x₀+8⑤
于是由②，④，⑤三式得x₁x₂x₃x₄=$\frac{48{{x}_{0}}^{2}-64}{{{x}_{0}}^{2}-1}$=32．
所以，x₀=±$\sqrt{2}$，
所以P（±$\sqrt{2}$，-2），

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题．