Question

1．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，即a²-b²=1，
设点F（1，0）关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点为（m，n），
可得$\frac{n}{m-1}$=-2，且$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+m}{2}$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{4}{5}$，即对称点为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
代入椭圆方程可得$\frac{9}{25{a}^{2}}$+$\frac{16}{25{b}^{2}}$=1，
解得a²=$\frac{9}{5}$，b²=$\frac{4}{5}$，
可得椭圆的方程为$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，以及点关于直线对称，由点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．