Question

10．2016年全国高考将有25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修4-1（几何证明选讲）、选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三A、B两个理科班共100名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如表所示：

课程 人数 班级	选修4-1	选修4-4	选修4-5
A	10	a	15
B	10	20	b

若从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4-4的概率为$\frac{9}{20}$．
（Ⅰ）求a、b的值，分别计算两个班没有选选修4-5的概率；
（Ⅱ）若从A、B两班分别随机抽取2名学生，对其试卷的选做题进行分析，记4名学生中选做4-1的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：A班选做4-1的每个学生被抽取到的概率均为$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4-4的概率为$\frac{9}{20}$，由此列出方程级求出a，从而能求出b，进而能求出A班没有选做选修4-5的概率和B班没有选做选修4-5的概率．
（Ⅱ）由题意知，A、B两班每人选选修4-1的概率均为$\frac{1}{5}$，随机变量X服从二项分布X～B（4，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）∵从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4-4的概率为$\frac{9}{20}$，
∴由题意，得：$\frac{a+20}{100}=\frac{9}{20}$，解得a=25，
∴b=100-（15+25+10+10+20）=20，
A班没有选做选修4-5的概率${P_1}=\frac{10+25}{50}=\frac{7}{10}$，
B班没有选做选修4-5的概率p₂=$\frac{10+20}{50}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由题意知，A、B两班每人选选修4-1的概率均为$\frac{1}{5}$，
∴随机变量X服从二项分布，即 X～B（4，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{5}）^{i}（1-\frac{1}{5}）^{4-i}$，i=0，1，2，3，4，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

∴$E（X）=4×\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，注意二项分布的性质的合理运用．