题目内容

18．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax-2x+4a-7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为1或5．

分析 令f（x）=ax2+4ax-2x+4a-7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$，结合a为正整数，可得：-3≤x≤1，分别代入验证可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax2+4ax-2x+4a-7=a（x2+4x+4）-2x-7，
∴f（-2）=-3≠0，
即x=-2不是函数y=f（x）的零点，
令f（x）=ax2+4ax-2x+4a-7=0，
则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$，
∵a为正整数，
∴$\frac{2x+7}{（x+2）^{2}}$≥1，
解得：-3≤x≤1，
当且仅当x=-3时，a=1，x=-1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，
综上可得：a的值为1或5，
故答案为：1或5．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点判断定理，难度中档．

练习册系列答案
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7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若△ABF1的周长为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P是y轴上一点，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB，若点P的坐标为（0，-2），求平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．
8．设f（x）为y=-x+6和y=-x2+4x+6中较小者，则函数f（x）的最大值为（　　）
A．0B．6C．10D．-6

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