Question

4．已知函数$f（x）=\frac{m}{2}{x^2}-x-lnx$．
（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在x=1处的切线l的方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）当m＞-1时，（Ⅰ）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据切点坐标，向量k=f′（1）=m-2，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的符号结合二次函数的性质，判断函数的单调性，从而求出m的具体范围；
（Ⅲ）根据直线和曲线C的关系，得到$g（x）=\frac{m}{2}{x^2}-（m-1）x-lnx+\frac{m-2}{2}，x＞0$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=mx-1-\frac{1}{x}$，x＞0…（1分）
因为$f（1）=\frac{m}{2}-1$，所以切点为（1，$\frac{m}{2}-1$）．
又k=f′（1）=m-2，…（2分）
所以切线l$：y-（\frac{m}{2}-1）=（m-2）（x-1）$，
即l$：y=（m-2）x-\frac{m-2}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）①当m≤0时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意． …（5分）
②当m＞0时，设y=mx²-x-1，该抛物线开口向上，
且△=1+4m＞0，过（0，-1）点，
所以该抛物线与x轴相交，交点位于原点两侧，
f（x）不单调，不符合题意，舍去． …（6分）
综上m≤0． …（7分）
（Ⅲ）因为直线l与C有且只有一个公共点，
所以方程$\frac{m}{2}{x^2}-x-lnx-（m-2）x+\frac{m-2}{2}=0$，
即$\frac{m}{2}{x^2}-（m-1）x-lnx+\frac{m-2}{2}=0$有且只有一个根． …（8分）
设$g（x）=\frac{m}{2}{x^2}-（m-1）x-lnx+\frac{m-2}{2}，x＞0$，
则$g'（x）=mx-（m-1）-\frac{1}{x}=\frac{{m{x^2}-（m-1）x-1}}{x}=\frac{（mx+1）（x-1）}{x}$，…（10分）
①当m≥0时，
因为x＞0，所以mx+1＞0，令g'（x）＞0，解得x＞1；
令g′（x）＜0，解得0＜x＜1；
所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以g（x）_min=g（1）=0，所以符合条件．…（11分）
②当-1＜m＜0时，则$-\frac{1}{m}＞1$
令g′（x）＞0，解得$1＜x＜-\frac{1}{m}$；
令g′（x）＜0，解得0＜x＜1或$x＞-\frac{1}{m}$；
所以g（x）在$（1，-\frac{1}{m}）$上单调递增，在（0，1），$（-\frac{1}{m}，+∞）$上单调递减，…（12分）
$g（\frac{2m-3}{m}）=\frac{m}{2}{（\frac{2m-3}{m}）^2}-（m-1）（\frac{2m-3}{m}）-ln（\frac{2m-3}{m}）+\frac{m-2}{2}$
=$\frac{{{{（2m-3）}^2}-2（m-1）（2m-3）}}{2m}-ln（\frac{2m-3}{m}）+\frac{m-2}{2}$
=$-\frac{2m-3}{2m}-ln（\frac{2m-3}{m}）+\frac{m-2}{2}$，
因为-1＜m＜0，所以$-\frac{2m-3}{2m}＜0$，$\frac{m-2}{2}＜0$，
又$\frac{2m-3}{m}＞1$，所以$ln（\frac{2m-3}{m}）＞0$，
即$-ln（\frac{2m-3}{m}）＜0$，所以$g（\frac{2m-3}{m}）＜0$．
所以g（x）在$（1，-\frac{1}{m}）$上有一个零点，且g（1）=0，
所以g（x）有两个零点，不符合题意．
综上m≥0．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，曲线的切线方程问题，是一道综合题．