Question

17．已知对数函数f（x）=（m²-m-1）log_m+1x，且g（x）是f（x）的反函数．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；并指出它们的定义域和值域；
（2）求f（x）在区间$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值和最小值；
（3）在同一平面直角坐标系中作出f（x）和g（x）的图象；并指出它们的图象关于哪一条直线对称？

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义，反函数的定义求f（x）和g（x）的表达式；并指出它们的定义域和值域；
（2）利用对数函数的单调性，即可求f（x）在区间$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值和最小值；
（3）在同一平面直角坐标系中作出f（x）和g（x）的图象，如图所示，它们的图象关于直线y=x对称．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-1=1}\\{m+1＞0}\\{m+1≠1}\end{array}\right.$，
∴m=2，
∴f（x）=log₃x，定义域为（0，+∞），值域为R，g（x）=3^x，定义域为R，值域为（0，+∞）；
（2）f（x）在区间$[{\frac{1}{9}，27}]$上的最大值为3，最小值为-2；
（3）在同一平面直角坐标系中作出f（x）和g（x）的图象，如图所示，它们的图象关于直线y=x对称．

点评 本题考查对数函数、指数函数，考查反函数，考查数形结合的数学思想，属于中档题．