Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD对角线的交点．
（Ⅰ）求证：平面C₁BD∥平面AB₁D₁；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方图与平行四边形的性质可得：BC₁∥AD₁，利用线面平行的判定定理可得BC₁∥平面AB₁D₁，同理可得：BD∥平面AB₁D₁，即可证明：平面C₁BD∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）：如图，连接C₁O，利用直方图的性质与线面垂直的性质定理可得：AA₁⊥BD，又BD⊥AC，可得BO⊥平面ACC₁A₁．因此∠OC₁B为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴在平行四边形ABC₁D₁中，BC₁∥AD₁，
又AD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁，
同理可得：BD∥平面AB₁D₁，且BC₁∩BD=B，
∴平面C₁BD∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）解：如图，连接C₁O，
由AA₁⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AA₁=A，
∴BO⊥平面ACC₁A₁．∴C₁O为BC₁在平面ACC₁A₁内的射影
∴∠OC₁B为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角．
在 Rt△OC₁B中，∵$BO=\frac{1}{2}B{C_1}$，∴$sin∠O{C_1}B=\frac{BO}{{B{C_1}}}=\frac{1}{2}$，
又∵$∠O{C_1}B∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$∠O{C_1}B=\frac{π}{6}$，
∴直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角、线面、面面平行的判定与性质定理、线面、面面垂直的判定与性质定理、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．