题目内容

焦点在x轴上的椭圆 $数学公式$ 的离心率的最大值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：根据椭圆的焦点在x轴上，建立关于a的不等式并解之得：2 $\text{[math]}$ ＜a＜2+ $\text{[math]}$ ．由椭圆离心率公式，得e²=1-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），利用基本不等式得a=1时，e²有最大值 $\text{[math]}$ ，即得该椭圆的离心率e的最大值．
解答：∵椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在x轴上
∴4a＞a²+1，解之得2 $\text{[math]}$ ＜a＜2+ $\text{[math]}$
椭圆的离心率e满足：e²= $\text{[math]}$ =1-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∵a∈（2 $\text{[math]}$ ，2+ $\text{[math]}$ ）是正数
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴e²≤1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即a=1时，e²有最大值 $\text{[math]}$
由此可得椭圆的离心率e的最大值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选：B
点评：本题给出的椭圆方程含有字母参数，求椭圆的离心率最大值，着重考查了椭圆的简单性质和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．