题目内容
14．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且a2=2，S5=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（Ⅱ）设bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
分析 （Ⅰ）利用等差数列的通项公式与求和公式，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，即可求得数列{an}的通项公式an及Sn；
（Ⅱ）依题意，利用裂项法可得bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），逐项累加，即可求得Tn=b1+b2+b3+…+bn．
解答 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{S}_{5}={5a}_{3}=15}\end{array}\right.$，
解得d=a3-a2=3-2=1，∴a1=1，
∴an=1+（n-1）=n；
Sn=$\frac{（1+n）n}{2}$；
（Ⅱ）∵bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{2{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$），
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn，=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$）+…+（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+2）（n+1）}$．
点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．
| A． | 直角三角形 | B． | 锐角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 不等边三角形 |
| A． | 若a∥α，b∥β，则a∥b | B． | 若a?α，b?β，a∥b，则α∥β | ||
| C． | 若a∥b，b∥α，α∥β，则a∥β | D． | 若a⊥α，a⊥β，b⊥β，则b⊥α |
| A． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$ | B． | -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$ | C． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$ | D． | -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$ |
| A． | 充要条件 | B． | 充分不必要条件 | ||
| C． | 必要不充分条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |