Question

12．解不等式：
（1）|x-2|+|2x-3|＜4；
（2）$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}-x-2}$≤x．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，从而求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论x的范围得到x-1=0或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（x-2）（x+2）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{（x-2）（x+1）＜0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）x≥2时，x-2+2x-3＜4，解得：x＜3，
$\frac{3}{2}$＜x＜2时，2-x+2x-2＜4，解得：x＜4，
x≤$\frac{3}{2}$时，2-x+3-2x＜4，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是：{x|$\frac{1}{3}$＜x＜3}；
（2）∵$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}-x-2}$≤x，
∴$\frac{{x（x-1）}^{2}}{（x-2）（x+1）}$≥0，
∴x-1=0或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（x-2）（x+2）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{（x-2）（x+1）＜0}\end{array}\right.$
解得：-1＜x≤0或x=1或x＞2，
故不等式的解集是（-1，0]∪{1}∪（2，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题．