Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{8}$，a_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{{1-2{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N*），设b_n=$\frac{1}{a_n}$，
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|（n∈N^*），求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=8，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{a_n}$=-2，因此数列{b_n}是等差数列；
（2）由（1）可知：b_n=10-2n，分类当1≤n≤5，b_n≥0，S_n=$\frac{（8+10-2n）n}{2}$=-n²+9n，当n≥6时，b_n≤0，S_n=2S₅-S_n，即可求得S_n．

解答 （1）证明：b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=8，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{a_n}$=$\frac{1-2{a}_{n}}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{a_n}$=-2，
∴数列{b_n}是以8为首项，-2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可得：b_n=8+（-2）（n-1）=10-2n，
当1≤n≤5，b_n≥0，
S_n=$\frac{（8+10-2n）n}{2}$=-n²+9n，
当n≥6时，b_n≤0，
S_n=2S₅-S_n=2（-25+9×5）+n²-9n=n²-9n+40，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+9n}&{1≤n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40}&{n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式及含有绝对值的数列前n项和公式求法，考查计算能力，属于中档题．