题目内容
1．已知数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N+）．（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和Tn．
分析 （1）由Sn=n2+2n（n∈N+）．可得n=1时，b1=3；n≥2时，bn=Sn-Sn-1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂项求和方法”即可得出．
解答 解：（1）∵Sn=n2+2n（n∈N+）．∴n=1时，b1=3；n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1．
n=1时也成立，∴bn=2n+1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{n}{6n+9}$．
点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
| 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
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