题目内容
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】分析：（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为
，小红中奖的概率为
，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，
），X2～B（2，
），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
解答：解：（1）由题意知，小明中奖的概率为
，小红中奖的概率为
，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=
，∴P（A）=1-P（X=5）=
；
即他们的累计得分x≤3的概率为
．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，
），X2～B（2，
），
∴E（X1）=2×
=
，E（X2）=2×
=
，
从而E（2X1）=2E（X1）=
，E（3X2）=3E（X2）=
，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．
，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，
），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．解答：解：（1）由题意知，小明中奖的概率为
，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=
，∴P（A）=1-P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为
．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，
），X2～B（2，），∴E（X1）=2×
=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=
，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．
练习册系列答案
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,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为
,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
,求
的概率;
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
,求
的概率；
，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
，求
的概率；