Question

20．已知椭圆C的中心在坐标原点O上，短轴的端点坐标为（0，1），（0，-1），离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C标准方程；
（Ⅱ）直线l过点M（-1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，若PQ为直径的圆经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆标准方程，结合已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由已知条件得$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，当直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，求出P，Q的坐标，可知与题意不符；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根与系数的关系结合$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$求得k=±2．则直线l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=1．
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由已知条件得$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，
若直线l的斜率不存在，则过点M（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时$P（{-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），Q（{-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x+1}）\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．
由△=48k²+16＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
故${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，①${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，②
${y_1}{y_2}={k^2}（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）={k^2}{x_1}{x_2}+{k^2}（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}$．
由$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，得x₁x₂+y₁y₂=0，即$（{{k^2}+1}）{x_1}{x_2}+{k^2}（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}=0$，③
联立①②③得k=±2．
∴直线l的方程为2x-y+2=0或2x+y+2=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查向量垂直与数量积间的关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．