Question

已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交

椭圆与两点,且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交与不同的

两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线

方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解： （Ⅰ）设椭圆的方程是, 由交点的坐标得:,

由,可得 ，解得 故椭圆的方程是

（Ⅱ）设,不妨设

设的内切圆半径是,则的周长是,

, 因此最大,就最大

 

由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为,

由得,,

法一：解得

则令则

则

令

当时,,在上单调递增,

有,

即当时,所以,

此时所求内切圆面积的最大值是

故直线,内切圆的面积最大值是

法二：用韦达定理

以下同上