Question

若实数x，y满足 x²+y²-2x-2y+1=0，则

x-2

y-4

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆方程的综合应用

专题：直线与圆

分析：方程即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一个以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．

x-2

y-4

表示圆上的点（x y）与点A（2，4）连线的斜率k的倒数．求出圆的两条切线方程，可得切线斜率k的范围，可得k的倒数

x-2

y-4

的取值范围．

解答： 解：x²+y²-2x-2y+1=0 即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一个以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．
而

x-2

y-4

表示圆上的点（x y）与点A（2，4）连线的斜率k的倒数．
设圆的过点A的一条切线斜率为k，则切线的方程为 y-4=k（x-2），即 kx-y+4-2k=0．
由圆心到切线的距离等于半径可得

|k-1+4-2k|

k2+1

=1，k=

4

3

．
另外圆还有一条切线为x=2，故切线的斜率k的范围为[

4

3

，+∞），
故k的倒数

x-2

y-4

的取值范围为（0，

3

4

]，
故答案为：（0，

3

4

]．

点评：本题主要考查圆的标准方程、直线的斜率公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．