Question

已知函数（）．

（Ⅰ） 讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，且函数在区间上不单调，求的取值范围；

（Ⅲ）试比较＋＋…＋与的大小(n∈N₊，且n≥2)，并证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）                                  …………1分

当时，的单调增区间为，单调减区间为；   …………2分

当时，的单调增区间为，单调减区间为     …………3分

当时，不是单调函数。                              …………4分

（Ⅱ），，

                                …………5分

在区间上不单调，且           …………7分

解得                                                 …………8分

（Ⅲ）结论：＋＋…＋<  (n∈N+且n≥2)．    …………9分

证明如下：令此时，所以

由（Ⅰ）知在上单调递增，

所以当时，，

即，对一切成立，          …………11分

则<1－对一切也成立，

所以＋＋…＋<1－＋1－＋…＋1－

＝n－1－<n－1－    …………13分

＝n－1－

＝n－1－＝(n∈N*且n≥2)．             ………… 14分

另解：也可先证明对一切成立，证法可通过令，再求导研究单调性进行证明．