题目内容
已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）若⊙O的直径AB=
| 5 |
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（1）由弦切角定理得∠CAP=∠APC，又∠C=∠C，从而△APC∽△FAC，由此能证明
=
．
（2）由切割线定理得AC2=CP•CF=CP（CP+PF），由PF=AB=AC=2，得CP=
-1，由此能求出tan∠CPE=tan∠F=
．
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）由切割线定理得AC2=CP•CF=CP（CP+PF），由PF=AB=AC=2，得CP=
| 5 |
| ||
| 2 |
解答：
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，
∴∠CAP=∠APC，
又∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴
=
=
，
∴
=
．
（2）解：∵AC切⊙O于点A，CPE为⊙O的割线，
则AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，
解得CP=-1±
，∵CP＞0，∴CP=
-1，
∵∠OAF=∠F，∠B=∠F，
∴OAF=∠B，∴FA∥BE，∴∠CPE=∠F，
∵FP为直径，∴∠FAP=90°，
由（1）得
=
，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
=
=
．
∴tan∠CPE=tan∠F=
．
∴∠CAP=∠APC，
又∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴
| AP |
| AF |
| PC |
| AC |
| PC |
| AB |
∴
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（2）解：∵AC切⊙O于点A，CPE为⊙O的割线，
则AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，
解得CP=-1±
| 5 |
| 5 |
∵∠OAF=∠F，∠B=∠F，
∴OAF=∠B，∴FA∥BE，∴∠CPE=∠F，
∵FP为直径，∴∠FAP=90°，
由（1）得
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
| AP |
| FA |
| PC |
| AC |
| ||
| 2 |
∴tan∠CPE=tan∠F=
| ||
| 2 |
点评：本题考查线段比值相等的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．
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