Question

11．（1）求函数f（x）=xlnx在x=e处的切线方程；
（2）x∈R，证明不等式e^x≥x+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e），从而求出切线方程即可；（2）设g（x）=e^x-x-1，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，（x＞0），
∴k=f（e）'=lne+1=2，
又当x=e时，y=e，
所以切点为（e，e），
∴切线方程为y-e=2×（x-e），
即y=2x-e．
（2）设g（x）=e^x-x-1，
则g'（x）=e^x-1，
由g'（x）=e^x-1＞0得x＞0，
由g'（x）=e^x-1=0得x=0，
由g'（x）=e^x-1＜0得x＜0，
所以g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，∞）上是增函数函数，
在x=0处取得最小值，
即g（x）≥g（0）=0，
所以e^x≥x+1．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．