Question

6．已知拋物线的焦点是F，准线是l，M是拋物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆的个数可能是（　　）

• A． 0，1
• B． 1，2
• C． 2，4
• D． 0，1，2，4

Answer 1

分析 圆心在FM的中垂线，经过点F，M且与l相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于两点，得到有两个圆．

解答 解：①当抛物线方程为y²=2px，
当M坐标为（$\frac{p}{2}$，p）或（$\frac{p}{2}$，-p）时，过F、M且与l相切的圆只有一个，
②当M坐标不为（$\frac{p}{2}$，p）或（$\frac{p}{2}$，-p）时，连接FM，作出它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，
经过点F，M且与l相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F的距离相等，
∴圆心在抛物线上，
∵直线与抛物线交于两点，
∴这两点可以作为圆心，这样的圆有两个，
故答案选：B．

点评 本题考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是看出圆心的特点，看出圆心必须在抛物线上，而直线与抛物线有两个交点，即有两个点可以作为圆心，属于中档题．