Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点与抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程 求得焦点坐标，求得c的值，由双曲线的离心率公式求得其离心率，则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得椭圆的半长轴a的值，则b²=a²-c²，即可求得半短轴，即可求得椭圆的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，则${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=k（{{x_1}+2}）=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$即可求得B点坐标，由中点坐标公式求得M点坐标，分类当k=0时及当k≠0时，由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，根据向量的坐标表示，即可求得y₀的值．

解答 解：（1）抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点坐标为$（{\sqrt{3}，0}）$，
所以$c=\sqrt{3}$…（1分）
双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的离心率为$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
所以椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2，
所以b²=1…（3分）
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；…（4分）
（2）由（1）知A（-2，0），且直线l的斜率必存在，设斜率为k，
则直线方程为：y=k（x+2），设点B的坐标为（x₁，y₁），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$，方程消去y整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0…（5分）
A，B两点坐标满足上述方程，由韦达定理得$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
所以${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=k（{{x_1}+2}）=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$
所以A（-2，0），B的坐标为$（{\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}）$，…（6分）
线段AB的中点为M，则M点坐标为$（{\frac{{-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{2k}{{1+4{k^2}}}}）$…（7分）
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{2，-{y_0}}）$，
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-4+y_0^2=4⇒{y_0}=±2\sqrt{2}$…（8分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为$y-\frac{2k}{{1+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）$，
令x=0，解得${y_0}=-\frac{6k}{{1+4{k^2}}}$，
由$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-{y_0}}）$…（9分）
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀），
=-2×$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），
=$\frac{4（16{k}^{4}+15{k}^{2}-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4…（10分）
整理得：$7{k^2}=2⇒k=±\frac{{\sqrt{14}}}{7}，{y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$…（11分）
综上所述，${y_0}=±2\sqrt{2}$或${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线及抛物线的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及向量数量积的坐标表示的综合运用，考查计算能力，属于中档题．