Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

【答案】分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量a_n，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+）^n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入b_n．
（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范围即可．
解答：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-）万元，，第n年投入为800×（1-）^n-1万元．
所以，n年内的总投入为
a_n=800+800×（1-）++800×（1-）^n-1=
=4000×[1-（）ⁿ]；（3分）
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，
第n年旅游业收入为400×（1+）^n-1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
b_n=400+400×（1+）+…+400×（1+）^n-1=
=1600×[（）ⁿ-1]．（6分）
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b_n-a_n＞0，
即1600×[（）ⁿ-1]-4000×[1-（）ⁿ]＞0．
化简得5×（）ⁿ+2×（）ⁿ-7＞0，（9分）
设x=（）ⁿ，代入上式得
5x²-7x+2＞0，
解此不等式，得，x＞1（舍去）．
即（）ⁿ＜，
由此得n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）
点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．