题目内容
已知P为双曲线C：
-
=1上的点，点M满足|
|=1，且
•
=0，则当|
|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
| OM |
| OM |
| PM |
| PM |
分析：依题意可求得点P的坐标为P（3，0），利用点到直线间的距离公式即可求得点P到双曲线C的渐近线的距离．
解答：解：∵|
|=1，
∴点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵
•
=0，
∴OM⊥PM，
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：
-
=1上的点，
在Rt三角形OPM中，要使直角边|
|最小，由于|
|=1，故只需|OP|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：
-
=1的一条渐近线方程为y=
x，
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d=
=
．
故选B．
| OM |
∴点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵
| OM |
| PM |
∴OM⊥PM，
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
在Rt三角形OPM中，要使直角边|
| PM |
| OM |
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
| 4 |
| 3 |
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d=
| |4×3-3×0| | ||
|
| 12 |
| 5 |
故选B．
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查向量式的几何意义，求得点P的坐标为（3，0）是关键，考查转化思想与逻辑思维能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
、
为双曲线C:
的左、右焦点，点p在C上，∠
，则P到x轴的距离为( )
B.
C.
D.
、
为双曲线C：
的左、右焦点，点P在C上，∠
，则P到x轴的距离为
（B）
（C）
（D）
、
为双曲线C:
的左、右焦点，点p在C上，∠
，则P到x轴的距离为
(B)
(C) 
(D) 
、
为双曲线C:
的左、右焦点，点P在C上，∠
，则P到x轴的距离为 ( )
(B)
(C) 
(D) 