Question

13．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，
且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE．
（Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分）
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分）
又∵AE∩AD=A，
∴CD⊥面ADE．（7分）
解：（Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，
∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分）
∴EF⊥平面ABCD，
∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分）
∵BE=$\sqrt{5}$，$EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AF=\frac{1}{2}$，∴$BF=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，
∴$cos∠BEF=\frac{BF}{BE}=\frac{{\frac{{\sqrt{17}}}{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{85}}}{10}$．
∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{85}}{10}$．（15分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．