Question

11．已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“Γ-函数”．
（1）判断函数f₁（x）=x，${f_2}（x）={3^x}$是否是“Γ-函数”；
（2）若f₃（x）=tanx是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2016，2016]时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）假设f₁（x），f₂（x）为Γ-函数，根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；
（2）假设f₃（x）为Γ-函数，列出恒等式，根据和角的正切公式计算，得出关于x的恒等式解出a，b；
（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，从而求的f（x）的值域．

解答 解：（1）若f₁（x）=x是“Γ-函数”，则存在实数对（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x²=a²-b对x∈R恒成立，而关于x的方程x²=a²-b最多有两个解，不符合题意．
因此f₁（x）=x不是“Γ-函数”．
若${f_2}（x）={3^x}$是“Γ-函数”，则存在实数对（a，b），使得3^a+x•3^a-x=3^2a=b，
即存在常数对（a，3^2a）满足条件，
因此${f_2}（x）={3^x}$是“Γ-函数”．
（2）∵f₃（x）=tanx是一个“Γ-函数”，∴存在序实数对（a，b）满足tan（a+x）•tan（a-x）=b恒成立，
当$a=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$时，tan（a+x）•tan（a-x）=-cot²x，不是常数．
∴$a≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$．
当$x≠mπ+\frac{π}{2}，m∈Z$时，有$\frac{tana+tanx}{1-tana•tanx}•\frac{tana-tanx}{1+tana•tanx}=\frac{{{{tan}^2}a-{{tan}^2}x}}{{1+{{tan}^2}a•{{tan}^2}x}}=b$恒成立，
即（btan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立．
则$\left\{{\begin{array}{l}{b{{tan}^2}a-1=0}\\{{{tan}^2}a-b=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{{tan}^2}a=1}\\{b=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=kπ±\frac{π}{4}，k∈Z}\\{b=1}\end{array}}\right.$，
当$x=mπ+\frac{π}{2}，m∈Z$，$a=kπ±\frac{π}{4}，k∈Z$时，tan（a+x）•tan（a-x）=cot²a=1成立．
因此满足f₃（x）=tanx是一个“Γ-函数”时，实数对$（a，b）=（kπ±\frac{π}{4}，1）（k∈Z）$．
（3）函数f（x）是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
∴f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
∵f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）•f（2-x）=4，x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f（2-x）∈[1，2]，$f（x）=\frac{4}{f（2-x）}∈[2，4]$，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]，
$\left\{{\begin{array}{l}{f（x）•f（-x）=1}\\{f（1+x）•f（1-x）=4}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{f（-x）=\frac{1}{f（x）}}\\{f（-x）=\frac{4}{f（2+x）}}\end{array}}\right.⇒f（x+2）=4f（x）$，
∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]时，f（x）∈[16，64]，…
以此类推可知：x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，
∴当x∈[2014，2016]时，f（x）∈[2²⁰¹⁴，2²⁰¹⁶]，
因此x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，2²⁰¹⁶]，x∈[-2016，0]时，$f（x）=\frac{1}{f（-x）}，-x∈[0，2016]，f（-x）∈[1，{2^{2016}}]⇒f（x）∈[{2^{-2016}}，1]$，
综上可知当x∈[-2016，2016]时函数f（x）对的值域为[2^-2016，2²⁰¹⁶]．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数的性质应用，函数值域的求法，属于中档题．