Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$，A（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{13}}{2}$）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．

Answer 1

分析 （1）由已知得c=2$\sqrt{3}$，F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}，0$），2a=|AF₁|+|AF₂|=$\sqrt{（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{3}-2\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$=8，即可求方程、离心率．
（2）写出直线TN\TM的方程，得P（$\frac{-2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}，0）$，得Q（0，$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$），即|PN|=|4+$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}$|=|$\frac{2{x}_{0}+4{y}_{0}-8}{{y}_{0}-2}$|，|MQ|=|2+$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$|=|$\frac{2{x}_{0}+4{y}_{0}-8}{{x}_{0}-4}$||PN|•|QM|=$\frac{4（{x}_{0}+2{y}_{0}-4）^{2}}{（{y}_{0}-2）（{x}_{0}-4）}$=$\frac{16（{x}_{0}{y}_{0}-2{x}_{0}-4{y}_{0}+8）}{{x}_{0}{y}_{0}-2{x}_{0}-4{y}_{0}+8}=16$．

解答 解：（1）由已知得c=2$\sqrt{3}$，F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}，0$），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=$\sqrt{（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{3}-2\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$=8
∴a=4，∴b²=a²-c²=4，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．e=$\frac{1}{2}$．
（2）T（x₀，y₀），（x₀≠0，y₀≠0），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$．
M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：$y-2=\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}x$，
令y=0，得P（$\frac{-2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}，0）$，
直线TN的方程：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}（x-4）$，
令x=0，得Q（0，$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$）
则|PN|=|4+$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}-2}$|=|$\frac{2{x}_{0}+4{y}_{0}-8}{{y}_{0}-2}$|
则|MQ|=|2+$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$|=|$\frac{2{x}_{0}+4{y}_{0}-8}{{x}_{0}-4}$|
|PN|•|QM|=$\frac{4（{x}_{0}+2{y}_{0}-4）^{2}}{（{y}_{0}-2）（{x}_{0}-4）}$=$\frac{16（{x}_{0}{y}_{0}-2{x}_{0}-4{y}_{0}+8）}{{x}_{0}{y}_{0}-2{x}_{0}-4{y}_{0}+8}=16$
∴|PN|•|QM|为定值16

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．