Question

19．如图所示，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$为定值，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$是常数，得$（{x}_{1}+a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=λ[（{x}_{1}+c）^{2}+{{y}_{1}}^{2}]$，然后利用$x_1^2+y_1^2={b^2}$，转化为关于x₁ 的方程，由系数相等可得a，c的关系式，从而求得椭圆C的离心率．

解答 解：设F（-c，0），c²=a²-b²，
设P（x₁，y₁），要使得$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$是常数，则有$（{x}_{1}+a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}=λ[（{x}_{1}+c）^{2}+{{y}_{1}}^{2}]$，λ是常数，
∵$x_1^2+y_1^2={b^2}$，
∴${b^2}+2a{x_1}+{a^2}=λ（{b^2}+2c{x_1}+{c^2}）$，
比较两边系数得b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，
故c（b²+a²）=a（b²+c²），即2ca²-c³=a³，
即e³-2e+1=0，即（e-1）（e²+e-1）=0，
又0＜e＜1，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，利用$\frac{{|{PA}|}}{{|{PF}|}}$为定值得到a，c的关系是解答该题的关键，是中档题．